Selesaikan sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Selesaikan untuk x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Tambahkan 4 dan 4 untuk dapatkan 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} dikuasakan 2 dan dapatkan x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Tambahkan 4 dan 16 untuk dapatkan 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} dikuasakan 2 dan dapatkan x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Gabungkan x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Gabungkan -4x dan -4x untuk mendapatkan -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Tolak 8 daripada 20 untuk mendapatkan 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Tolak y^{2} daripada kedua-dua belah.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Gabungkan y^{2} dan -y^{2} untuk mendapatkan 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah.

$$-8x=12-8y+4y$$

Gabungkan -8y dan 4y untuk mendapatkan -4y.

$$-8x=12-4y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

Membahagi dengan -8 membuat asal pendaraban dengan -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Bahagikan 12-4y dengan -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Gantikan \frac{y-3}{2} dengan x dalam persamaan \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Permudahkan. Nilai x=\frac{y-3}{2} memuaskan persamaan.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Selesaikan untuk y

$$y=2x+3$$

Langkah Penyelesaian

Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Tambahkan 4 dan 4 untuk dapatkan 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} dikuasakan 2 dan dapatkan x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Nombor bertentangan -2 ialah 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Gunakan teorem binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} untuk mengembangkan \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

Tambahkan 4 dan 16 untuk dapatkan 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Kira \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} dikuasakan 2 dan dapatkan x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Tolak y^{2} daripada kedua-dua belah.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Gabungkan y^{2} dan -y^{2} untuk mendapatkan 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Tambahkan 8y pada kedua-dua belah.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Gabungkan -4y dan 8y untuk mendapatkan 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Tolak x^{2} daripada kedua-dua belah.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Gabungkan x^{2} dan -x^{2} untuk mendapatkan 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Gabungkan 4x dan 4x untuk mendapatkan 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah.

$$4y=8x+20-8$$

Tolak 8 daripada 20 untuk mendapatkan 12.

$$4y=8x+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

Membahagi dengan 4 membuat asal pendaraban dengan 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Bahagikan 8x+12 dengan 4.

$$y=2x+3$$

Gantikan 2x+3 dengan y dalam persamaan \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Permudahkan. Nilai y=2x+3 memuaskan persamaan.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} persamaan mempunyai penyelesaian yang unik.

$$y=2x+3$$