Selesaikan {r}{3x+5y=1}{x+y=1}

$$\left.\begin{array} { r } { 3 x + 5 y = 1 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right\}$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+5y=1,x+y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+5y=1$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-5y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -5y+1.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{-5y+1}{3} dengan x dalam persamaan lain, x+y=1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}+y=1$$

Tambahkan -\frac{5y}{3} pada y.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=1$$

Tolak \frac{1}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{2}{3}y=\frac{2}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{5}{3} kali -1.

$$x=\frac{5+1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada \frac{5}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+5y=1,x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5}&-\frac{5}{3-5}\\-\frac{1}{3-5}&\frac{3}{3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{-1+5}{2}\\\frac{1-3}{2}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+5y=1,x+y=1$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+5y=1,3x+3y=3$$

Tolak 3x+3y=3 daripada 3x+5y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+5y-3y=1-3$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$5y-3y=1-3$$

Tambahkan 5y pada -3y.

$$2y=1-3$$

Tambahkan 1 pada -3.

$$2y=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-1=1$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$