Selesaikan {l}{x+y=2}{3x-y=2}

$$\left.\begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right\}$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=2,3x-y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=2$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+2$$

Gantikan -y+2 dengan x dalam persamaan lain, 3x-y=2.

$$3\left(-y+2\right)-y=2$$

Darabkan 3 kali -y+2.

$$-3y+6-y=2$$

Tambahkan -3y pada -y.

$$-4y+6=2$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-1+2$$

Tambahkan 2 pada -1.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=2,3x-y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3}&-\frac{1}{-1-3}\\-\frac{3}{-1-3}&\frac{1}{-1-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{4}\times 2-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=2,3x-y=2$$

Untuk menjadikan x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3x+3y=3\times 2,3x-y=2$$

Permudahkan.

$$3x+3y=6,3x-y=2$$

Tolak 3x-y=2 daripada 3x+3y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+3y+y=6-2$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y+y=6-2$$

Tambahkan 3y pada y.

$$4y=6-2$$

Tambahkan 6 pada -2.

$$4y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 3x-y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-1=2$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$