Selesaikan {l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Gabungkan 4x dan -x untuk mendapatkan 3x.

$$3x+8y=-y$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$3x+8y+y=0$$

Gabungkan 8y dan y untuk mendapatkan 9y.

$$3x+9y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-3x-2y=-4-x$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$-3x-2y+x=-4$$

Gabungkan -3x dan x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+9y=0$$

Tolak 9y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-9y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -9y.

$$x=-3y$$

Gantikan -3y dengan x dalam persamaan lain, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

Darabkan -2 kali -3y.

$$6y-2y=-4$$

Tambahkan 6y pada -2y.

$$4y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-3y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3\left(-1\right)$$

Darabkan -3 kali -1.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Gabungkan 4x dan -x untuk mendapatkan 3x.

$$3x+8y=-y$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$3x+8y+y=0$$

Gabungkan 8y dan y untuk mendapatkan 9y.

$$3x+9y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-3x-2y=-4-x$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$-3x-2y+x=-4$$

Gabungkan -3x dan x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Gabungkan 4x dan -x untuk mendapatkan 3x.

$$3x+8y=-y$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$3x+8y+y=0$$

Gabungkan 8y dan y untuk mendapatkan 9y.

$$3x+9y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-3x-2y=-4-x$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$-3x-2y+x=-4$$

Gabungkan -3x dan x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Untuk menjadikan 3x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

Permudahkan.

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

Tolak -6x-6y=-12 daripada -6x-18y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

Tambahkan -6x pada 6x. Seubtan -6x dan 6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-18y+6y=12$$

Tambahkan -18y pada 6y.

$$-12y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -12.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam -2x-2y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

Darabkan -2 kali -1.

$$-2x+2=-4$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=-1$$