Selesaikan {l}{10x+2y=-78}{-3x-2y=-29}

$$\left.\begin{array} { l } { 10 x + 2 y = - 78 } \\ { - 3 x - 2 y = - 29 } \end{array} \right\}$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{107}{7} = -15\frac{2}{7} \approx -15.285714286$$

$$y = \frac{262}{7} = 37\frac{3}{7} \approx 37.428571429$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10x+2y=-78$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=-2y-78$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y-78\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -2y-78.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}$$

Gantikan \frac{-y-39}{5} dengan x dalam persamaan lain, -3x-2y=-29.

$$-3\left(-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}\right)-2y=-29$$

Darabkan -3 kali \frac{-y-39}{5}.

$$\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}-2y=-29$$

Tambahkan \frac{3y}{5} pada -2y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{117}{5}=-29$$

Tolak \frac{117}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{262}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{262}{7}$$

Gantikan \frac{262}{7} dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y-\frac{39}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{262}{7}-\frac{39}{5}$$

Darabkan -\frac{1}{5} dengan \frac{262}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{262}{35}-\frac{39}{5}$$

Tambahkan -\frac{39}{5} pada -\frac{262}{35} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{107}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10\left(-2\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-78\\-29\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-78\right)+\frac{1}{7}\left(-29\right)\\-\frac{3}{14}\left(-78\right)-\frac{5}{7}\left(-29\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{107}{7}\\\frac{262}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10x+2y=-78,-3x-2y=-29$$

Untuk menjadikan 10x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 10.

$$-3\times 10x-3\times 2y=-3\left(-78\right),10\left(-3\right)x+10\left(-2\right)y=10\left(-29\right)$$

Permudahkan.

$$-30x-6y=234,-30x-20y=-290$$

Tolak -30x-20y=-290 daripada -30x-6y=234 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-30x+30x-6y+20y=234+290$$

Tambahkan -30x pada 30x. Seubtan -30x dan 30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y+20y=234+290$$

Tambahkan -6y pada 20y.

$$14y=234+290$$

Tambahkan 234 pada 290.

$$14y=524$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$y=\frac{262}{7}$$

Gantikan \frac{262}{7} dengan y dalam -3x-2y=-29. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x-2\times \frac{262}{7}=-29$$

Darabkan -2 kali \frac{262}{7}.

$$-3x-\frac{524}{7}=-29$$

Tambahkan \frac{524}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=\frac{321}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{107}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{107}{7},y=\frac{262}{7}$$