Selesaikan {l}{-x-y=-6}{2x-3y=-3}

$$\left.\begin{array} { l } { - x - y = - 6 } \\ { 2 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x-y=-6,2x-3y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x-y=-6$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(y-6\right)$$

Darabkan -1 kali y-6.

$$x=-y+6$$

Gantikan -y+6 dengan x dalam persamaan lain, 2x-3y=-3.

$$2\left(-y+6\right)-3y=-3$$

Darabkan 2 kali -y+6.

$$-2y+12-3y=-3$$

Tambahkan -2y pada -3y.

$$-5y+12=-3$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-y+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3+6$$

Tambahkan 6 pada -3.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x-y=-6,2x-3y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-1\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-3\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{5}\left(-3\right)\\-\frac{2}{5}\left(-6\right)-\frac{1}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x-y=-6,2x-3y=-3$$

Untuk menjadikan -x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-1\right)y=2\left(-6\right),-2x-\left(-3y\right)=-\left(-3\right)$$

Permudahkan.

$$-2x-2y=-12,-2x+3y=3$$

Tolak -2x+3y=3 daripada -2x-2y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-2y-3y=-12-3$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-3y=-12-3$$

Tambahkan -2y pada -3y.

$$-5y=-12-3$$

Tambahkan -12 pada -3.

$$-5y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 2x-3y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-3\times 3=-3$$

Darabkan -3 kali 3.

$$2x-9=-3$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=3$$