Selesaikan {l}{-(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { - ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Untuk mencari yang bertentangan dengan x+2y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$-x-2y-x=-y$$

Gabungkan -x dan -x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-2y=-y$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$-2x-2y+y=0$$

Gabungkan -2y dan y untuk mendapatkan -y.

$$-2x-y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-3x-2y=-4-x$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$-3x-2y+x=-4$$

Gabungkan -3x dan x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2x-y=0$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Gantikan -\frac{y}{2} dengan x dalam persamaan lain, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=-4$$

Darabkan -2 kali -\frac{y}{2}.

$$y-2y=-4$$

Tambahkan y pada -2y.

$$-y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 4.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Untuk mencari yang bertentangan dengan x+2y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$-x-2y-x=-y$$

Gabungkan -x dan -x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-2y=-y$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$-2x-2y+y=0$$

Gabungkan -2y dan y untuk mendapatkan -y.

$$-2x-y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-3x-2y=-4-x$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$-3x-2y+x=-4$$

Gabungkan -3x dan x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{1}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-4\right)\\-\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Untuk mencari yang bertentangan dengan x+2y, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$-x-2y-x=-y$$

Gabungkan -x dan -x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-2y=-y$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$-2x-2y+y=0$$

Gabungkan -2y dan y untuk mendapatkan -y.

$$-2x-y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$-3x-2y=-4-x$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$-3x-2y+x=-4$$

Gabungkan -3x dan x untuk mendapatkan -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2x-y=0,-2x-2y=-4$$

Tolak -2x-2y=-4 daripada -2x-y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-y+2y=4$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y+2y=4$$

Tambahkan -y pada 2y.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam -2x-2y=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-2\times 4=-4$$

Darabkan -2 kali 4.

$$-2x-8=-4$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=4$$