Selesaikan {c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=2$$

$$y=-8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$27+4y+4x=3$$

Tolak 27 daripada kedua-dua belah.

$$4y+4x=3-27$$

Tolak 27 daripada 3 untuk mendapatkan -24.

$$4y+4x=-24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$8x+3y=-8$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4y+4x=-24$$

Tolak 4x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=-4x-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -4x-24.

$$y=-x-6$$

Gantikan -x-6 dengan y dalam persamaan lain, 3y+8x=-8.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

Darabkan 3 kali -x-6.

$$-3x-18+8x=-8$$

Tambahkan -3x pada 8x.

$$5x-18=-8$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y=-x-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-2-6$$

Tambahkan -6 pada -2.

$$y=-8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-8,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$27+4y+4x=3$$

Tolak 27 daripada kedua-dua belah.

$$4y+4x=3-27$$

Tolak 27 daripada 3 untuk mendapatkan -24.

$$4y+4x=-24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$8x+3y=-8$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-8,x=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$27+4y+4x=3$$

Tolak 27 daripada kedua-dua belah.

$$4y+4x=3-27$$

Tolak 27 daripada 3 untuk mendapatkan -24.

$$4y+4x=-24$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan 3y pada kedua-dua belah.

$$8x+3y=-8$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Untuk menjadikan 4y dan 3y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

Permudahkan.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

Tolak 12y+32x=-32 daripada 12y+12x=-72 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

Tambahkan 12y pada -12y. Seubtan 12y dan -12y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12x-32x=-72+32$$

Tambahkan 12x pada -32x.

$$-20x=-72+32$$

Tambahkan -72 pada 32.

$$-20x=-40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -20.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam 3y+8x=-8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$3y+8\times 2=-8$$

Darabkan 8 kali 2.

$$3y+16=-8$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-8,x=2$$