Selesaikan {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=5$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+5$$

Gantikan -y+5 dengan x dalam persamaan lain, 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Darabkan 7 kali -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Tambahkan -7y pada 3y.

$$-4y+35=47$$

Tolak 35 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Darabkan -1 kali -3.

$$x=3+5$$

Tambahkan 5 pada 3.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Untuk menjadikan x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Permudahkan.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Tolak 7x+3y=47 daripada 7x+7y=35 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Tambahkan 7x pada -7x. Seubtan 7x dan -7x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7y-3y=35-47$$

Tambahkan 7y pada -3y.

$$4y=35-47$$

Tambahkan 35 pada -47.

$$4y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 7x+3y=47. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Darabkan 3 kali -3.

$$7x-9=47$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=56$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=-3$$