Selesaikan {l}{x+y=64}{0.12x+0.26y=0.19}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + y = 64 }\\{ 0.12 x + 0.26 y = 0.19 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=117.5$$

$$y=-53.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=64$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+64$$

Gantikan -y+64 dengan x dalam persamaan lain, 0.12x+0.26y=0.19.

$$0.12\left(-y+64\right)+0.26y=0.19$$

Darabkan 0.12 kali -y+64.

$$-0.12y+7.68+0.26y=0.19$$

Tambahkan -\frac{3y}{25} pada \frac{13y}{50}.

$$0.14y+7.68=0.19$$

Tolak 7.68 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.14y=-7.49$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.14 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-53.5$$

Gantikan -53.5 dengan y dalam x=-y+64. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\left(-53.5\right)+64$$

Darabkan -1 kali -53.5.

$$x=53.5+64$$

Tambahkan 64 pada 53.5.

$$x=117.5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=117.5,y=-53.5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.26\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.26}{0.26-0.12}&-\frac{1}{0.26-0.12}\\-\frac{0.12}{0.26-0.12}&\frac{1}{0.26-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}&-\frac{50}{7}\\-\frac{6}{7}&\frac{50}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\\0.19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\times 64-\frac{50}{7}\times 0.19\\-\frac{6}{7}\times 64+\frac{50}{7}\times 0.19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}117.5\\-53.5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=117.5,y=-53.5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=64,0.12x+0.26y=0.19$$

Untuk menjadikan x dan \frac{3x}{25} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 0.12 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 64,0.12x+0.26y=0.19$$

Permudahkan.

$$0.12x+0.12y=7.68,0.12x+0.26y=0.19$$

Tolak 0.12x+0.26y=0.19 daripada 0.12x+0.12y=7.68 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.26y=7.68-0.19$$

Tambahkan \frac{3x}{25} pada -\frac{3x}{25}. Seubtan \frac{3x}{25} dan -\frac{3x}{25} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$0.12y-0.26y=7.68-0.19$$

Tambahkan \frac{3y}{25} pada -\frac{13y}{50}.

$$-0.14y=7.68-0.19$$

Tambahkan 7.68 pada -0.19 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$-0.14y=7.49$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.14 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-53.5$$

Gantikan -53.5 dengan y dalam 0.12x+0.26y=0.19. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$0.12x+0.26\left(-53.5\right)=0.19$$

Darabkan 0.26 dengan -53.5 dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$0.12x-13.91=0.19$$

Tambahkan 13.91 pada kedua-dua belah persamaan.

$$0.12x=14.1$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.12 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=117.5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=117.5,y=-53.5$$