Selesaikan {l}{x+2y=8}{y=3x-3}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 8 }\\{ y = 3 x - 3 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+2y=8,-3x+y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+2y=8$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-2y+8$$

Gantikan -2y+8 dengan x dalam persamaan lain, -3x+y=-3.

$$-3\left(-2y+8\right)+y=-3$$

Darabkan -3 kali -2y+8.

$$6y-24+y=-3$$

Tambahkan 6y pada y.

$$7y-24=-3$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-2y+8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times 3+8$$

Darabkan -2 kali 3.

$$x=-6+8$$

Tambahkan 8 pada -6.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+2y=8,-3x+y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-2\left(-3\right)}&\frac{1}{1-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 8-\frac{2}{7}\left(-3\right)\\\frac{3}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+2y=8,-3x+y=-3$$

Untuk menjadikan x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3x-3\times 2y=-3\times 8,-3x+y=-3$$

Permudahkan.

$$-3x-6y=-24,-3x+y=-3$$

Tolak -3x+y=-3 daripada -3x-6y=-24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x-6y-y=-24+3$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-y=-24+3$$

Tambahkan -6y pada -y.

$$-7y=-24+3$$

Tambahkan -24 pada 3.

$$-7y=-21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam -3x+y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+3=-3$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$