Selesaikan {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk dapatkan 4.

$$x+2y=4+3y$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+2y-3y=4$$

Gabungkan 2y dan -3y untuk mendapatkan -y.

$$x-y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$8-y+2y=2+3x$$

Gabungkan -y dan 2y untuk mendapatkan y.

$$8+y=2+3x$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$8+y-3x=2$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=2-8$$

Tolak 8 daripada 2 untuk mendapatkan -6.

$$y-3x=-6$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-y=4$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=y+4$$

Gantikan y+4 dengan x dalam persamaan lain, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Darabkan -3 kali y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Tambahkan -3y pada y.

$$-2y-12=-6$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3+4$$

Tambahkan 4 pada -3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk dapatkan 4.

$$x+2y=4+3y$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+2y-3y=4$$

Gabungkan 2y dan -3y untuk mendapatkan -y.

$$x-y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$8-y+2y=2+3x$$

Gabungkan -y dan 2y untuk mendapatkan y.

$$8+y=2+3x$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$8+y-3x=2$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=2-8$$

Tolak 8 daripada 2 untuk mendapatkan -6.

$$y-3x=-6$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Tambahkan 3 dan 1 untuk dapatkan 4.

$$x+2y=4+3y$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$x+2y-3y=4$$

Gabungkan 2y dan -3y untuk mendapatkan -y.

$$x-y=4$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2 dengan 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah.

$$8-y+2y=2+3x$$

Gabungkan -y dan 2y untuk mendapatkan y.

$$8+y=2+3x$$

Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$8+y-3x=2$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=2-8$$

Tolak 8 daripada 2 untuk mendapatkan -6.

$$y-3x=-6$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Untuk menjadikan x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Permudahkan.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Tolak -3x+y=-6 daripada -3x+3y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-y=-12+6$$

Tambahkan 3y pada -y.

$$2y=-12+6$$

Tambahkan -12 pada 6.

$$2y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam -3x+y=-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x-3=-6$$

Tambahkan 3 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-3$$