Selesaikan {l}{m+n=-3}{2n-3m=1}

$$\left. \begin{array}{l}{ m + n = - 3 }\\{ 2 n - 3 m = 1 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk m, n

$$m = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$n = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk m dengan mengasingkan m di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$m+n=-3$$

Tolak n daripada kedua-dua belah persamaan.

$$m=-n-3$$

Gantikan -n-3 dengan m dalam persamaan lain, -3m+2n=1.

$$-3\left(-n-3\right)+2n=1$$

Darabkan -3 kali -n-3.

$$3n+9+2n=1$$

Tambahkan 3n pada 2n.

$$5n+9=1$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5n=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$n=-\frac{8}{5}$$

Gantikan -\frac{8}{5} dengan n dalam m=-n-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$m=-\left(-\frac{8}{5}\right)-3$$

Darabkan -1 kali -\frac{8}{5}.

$$m=\frac{8}{5}-3$$

Tambahkan -3 pada \frac{8}{5}.

$$m=-\frac{7}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks m dan n.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

Untuk menjadikan m dan -3m sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3m-3n=-3\left(-3\right),-3m+2n=1$$

Permudahkan.

$$-3m-3n=9,-3m+2n=1$$

Tolak -3m+2n=1 daripada -3m-3n=9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3m+3m-3n-2n=9-1$$

Tambahkan -3m pada 3m. Seubtan -3m dan 3m saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3n-2n=9-1$$

Tambahkan -3n pada -2n.

$$-5n=9-1$$

Tambahkan 9 pada -1.

$$-5n=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$n=-\frac{8}{5}$$

Gantikan -\frac{8}{5} dengan n dalam -3m+2n=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk m.

$$-3m+2\left(-\frac{8}{5}\right)=1$$

Darabkan 2 kali -\frac{8}{5}.

$$-3m-\frac{16}{5}=1$$

Tambahkan \frac{16}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3m=\frac{21}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$m=-\frac{7}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$