Selesaikan {l}{a-5b=78}{b+3=2a}

$$\left. \begin{array}{l}{ a - 5 b = 78 }\\{ b + 3 = 2 a }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=-7$$

$$b=-17$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2a daripada kedua-dua belah.

$$b+3-2a=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$b-2a=-3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$a-5b=78,-2a+b=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$a-5b=78$$

Tambahkan 5b pada kedua-dua belah persamaan.

$$a=5b+78$$

Gantikan 5b+78 dengan a dalam persamaan lain, -2a+b=-3.

$$-2\left(5b+78\right)+b=-3$$

Darabkan -2 kali 5b+78.

$$-10b-156+b=-3$$

Tambahkan -10b pada b.

$$-9b-156=-3$$

Tambahkan 156 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-9b=153$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$b=-17$$

Gantikan -17 dengan b dalam a=5b+78. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=5\left(-17\right)+78$$

Darabkan 5 kali -17.

$$a=-85+78$$

Tambahkan 78 pada -85.

$$a=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-7,b=-17$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2a daripada kedua-dua belah.

$$b+3-2a=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$b-2a=-3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$a-5b=78,-2a+b=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}78\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-5\left(-2\right)\right)}&-\frac{-5}{1-\left(-5\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-5\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-5\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&-\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}78\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 78-\frac{5}{9}\left(-3\right)\\-\frac{2}{9}\times 78-\frac{1}{9}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-17\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=-7,b=-17$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2a daripada kedua-dua belah.

$$b+3-2a=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditolak daripada sifar menjadikannya negatif.

$$b-2a=-3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$a-5b=78,-2a+b=-3$$

Untuk menjadikan a dan -2a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-2a-2\left(-5\right)b=-2\times 78,-2a+b=-3$$

Permudahkan.

$$-2a+10b=-156,-2a+b=-3$$

Tolak -2a+b=-3 daripada -2a+10b=-156 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2a+2a+10b-b=-156+3$$

Tambahkan -2a pada 2a. Seubtan -2a dan 2a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10b-b=-156+3$$

Tambahkan 10b pada -b.

$$9b=-156+3$$

Tambahkan -156 pada 3.

$$9b=-153$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$b=-17$$

Gantikan -17 dengan b dalam -2a+b=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$-2a-17=-3$$

Tambahkan 17 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2a=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$a=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-7,b=-17$$