Selesaikan {l}{8x-5y=19}{6x+11y=29}

$$\left. \begin{array}{l}{ 8 x - 5 y = 19 }\\{ 6 x + 11 y = 29 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x-5y=19,6x+11y=29$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x-5y=19$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=5y+19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+19\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali 5y+19.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}$$

Gantikan \frac{5y+19}{8} dengan x dalam persamaan lain, 6x+11y=29.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}\right)+11y=29$$

Darabkan 6 kali \frac{5y+19}{8}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{57}{4}+11y=29$$

Tambahkan \frac{15y}{4} pada 11y.

$$\frac{59}{4}y+\frac{57}{4}=29$$

Tolak \frac{57}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{59}{4}y=\frac{59}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{59}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{5}{8}y+\frac{19}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5+19}{8}$$

Tambahkan \frac{19}{8} pada \frac{5}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x-5y=19,6x+11y=29$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\times 11-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{118}&\frac{5}{118}\\-\frac{3}{59}&\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\29\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{118}\times 19+\frac{5}{118}\times 29\\-\frac{3}{59}\times 19+\frac{4}{59}\times 29\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x-5y=19,6x+11y=29$$

Untuk menjadikan 8x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 19,8\times 6x+8\times 11y=8\times 29$$

Permudahkan.

$$48x-30y=114,48x+88y=232$$

Tolak 48x+88y=232 daripada 48x-30y=114 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$48x-48x-30y-88y=114-232$$

Tambahkan 48x pada -48x. Seubtan 48x dan -48x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-30y-88y=114-232$$

Tambahkan -30y pada -88y.

$$-118y=114-232$$

Tambahkan 114 pada -232.

$$-118y=-118$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -118.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 6x+11y=29. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+11=29$$

Tolak 11 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$