Selesaikan {l}{8x+9y=3}{x+y=0}

$$\left. \begin{array}{l}{ 8 x + 9 y = 3 }\\{ x + y = 0 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x+9y=3$$

Tolak 9y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=-9y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-9y+3\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali -9y+3.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}$$

Gantikan \frac{-9y+3}{8} dengan x dalam persamaan lain, x+y=0.

$$-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}+y=0$$

Tambahkan -\frac{9y}{8} pada y.

$$-\frac{1}{8}y+\frac{3}{8}=0$$

Tolak \frac{3}{8} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{8}y=-\frac{3}{8}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{9}{8}y+\frac{3}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{9}{8}\times 3+\frac{3}{8}$$

Darabkan -\frac{9}{8} kali 3.

$$x=\frac{-27+3}{8}$$

Tambahkan \frac{3}{8} pada -\frac{27}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&9\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-9}&-\frac{9}{8-9}\\-\frac{1}{8-9}&\frac{8}{8-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&9\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x+9y=3,x+y=0$$

Untuk menjadikan 8x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$8x+9y=3,8x+8y=0$$

Tolak 8x+8y=0 daripada 8x+9y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+9y-8y=3$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-8y=3$$

Tambahkan 9y pada -8y.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x+y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+3=0$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=3$$