Selesaikan {l}{7x+2y=-33}{x+9y=65}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x + 2 y = - 33 }\\{ x + 9 y = 65 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+2y=-33$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-2y-33$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y-33\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -2y-33.

$$x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}$$

Gantikan \frac{-2y-33}{7} dengan x dalam persamaan lain, x+9y=65.

$$-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}+9y=65$$

Tambahkan -\frac{2y}{7} pada 9y.

$$\frac{61}{7}y-\frac{33}{7}=65$$

Tambahkan \frac{33}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{61}{7}y=\frac{488}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{61}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{7}\times 8-\frac{33}{7}$$

Darabkan -\frac{2}{7} kali 8.

$$x=\frac{-16-33}{7}$$

Tambahkan -\frac{33}{7} pada -\frac{16}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7\times 9-2}&-\frac{2}{7\times 9-2}\\-\frac{1}{7\times 9-2}&\frac{7}{7\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}&-\frac{2}{61}\\-\frac{1}{61}&\frac{7}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}\left(-33\right)-\frac{2}{61}\times 65\\-\frac{1}{61}\left(-33\right)+\frac{7}{61}\times 65\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-7,y=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

Untuk menjadikan 7x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$7x+2y=-33,7x+7\times 9y=7\times 65$$

Permudahkan.

$$7x+2y=-33,7x+63y=455$$

Tolak 7x+63y=455 daripada 7x+2y=-33 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-7x+2y-63y=-33-455$$

Tambahkan 7x pada -7x. Seubtan 7x dan -7x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-63y=-33-455$$

Tambahkan 2y pada -63y.

$$-61y=-33-455$$

Tambahkan -33 pada -455.

$$-61y=-488$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -61.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x+9y=65. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+9\times 8=65$$

Darabkan 9 kali 8.

$$x+72=65$$

Tolak 72 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=8$$