Selesaikan {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x-4y=-7$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=4y-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Gantikan \frac{4y-7}{5} dengan x dalam persamaan lain, -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Darabkan -6 kali \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Tambahkan -\frac{24y}{5} pada 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Tolak \frac{42}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{16}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Darabkan \frac{4}{5} kali -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Tambahkan -\frac{7}{5} pada -\frac{8}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Untuk menjadikan 5x dan -6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Permudahkan.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Tolak -30x+40y=10 daripada -30x+24y=42 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Tambahkan -30x pada 30x. Seubtan -30x dan 30x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y-40y=42-10$$

Tambahkan 24y pada -40y.

$$-16y=42-10$$

Tambahkan 42 pada -10.

$$-16y=32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -16.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -6x+8y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Darabkan 8 kali -2.

$$-6x-16=2$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=-2$$