Selesaikan {l}{5a-6b=-9}{10a+7b=58}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 a - 6 b = - 9 }\\{ 10 a + 7 b = 58 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=3$$

$$b=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5a-6b=-9,10a+7b=58$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5a-6b=-9$$

Tambahkan 6b pada kedua-dua belah persamaan.

$$5a=6b-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$a=\frac{1}{5}\left(6b-9\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 6b-9.

$$a=\frac{6}{5}b-\frac{9}{5}$$

Gantikan \frac{6b-9}{5} dengan a dalam persamaan lain, 10a+7b=58.

$$10\left(\frac{6}{5}b-\frac{9}{5}\right)+7b=58$$

Darabkan 10 kali \frac{6b-9}{5}.

$$12b-18+7b=58$$

Tambahkan 12b pada 7b.

$$19b-18=58$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$19b=76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$b=4$$

Gantikan 4 dengan b dalam a=\frac{6}{5}b-\frac{9}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=\frac{6}{5}\times 4-\frac{9}{5}$$

Darabkan \frac{6}{5} kali 4.

$$a=\frac{24-9}{5}$$

Tambahkan -\frac{9}{5} pada \frac{24}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5a-6b=-9,10a+7b=58$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}\\-\frac{10}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}&\frac{6}{95}\\-\frac{2}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\58\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{95}\left(-9\right)+\frac{6}{95}\times 58\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{1}{19}\times 58\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=3,b=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5a-6b=-9,10a+7b=58$$

Untuk menjadikan 5a dan 10a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$10\times 5a+10\left(-6\right)b=10\left(-9\right),5\times 10a+5\times 7b=5\times 58$$

Permudahkan.

$$50a-60b=-90,50a+35b=290$$

Tolak 50a+35b=290 daripada 50a-60b=-90 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$50a-50a-60b-35b=-90-290$$

Tambahkan 50a pada -50a. Seubtan 50a dan -50a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-60b-35b=-90-290$$

Tambahkan -60b pada -35b.

$$-95b=-90-290$$

Tambahkan -90 pada -290.

$$-95b=-380$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -95.

$$b=4$$

Gantikan 4 dengan b dalam 10a+7b=58. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$10a+7\times 4=58$$

Darabkan 7 kali 4.

$$10a+28=58$$

Tolak 28 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10a=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=4$$