Selesaikan {l}{4x-7y=10}{-3x+2y=-9}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 x - 7 y = 10 }\\{ - 3 x + 2 y = - 9 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{43}{13} = 3\frac{4}{13} \approx 3.307692308$$

$$y=\frac{6}{13}\approx 0.461538462$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-7y=10$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=7y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali 7y+10.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}$$

Gantikan \frac{7y}{4}+\frac{5}{2} dengan x dalam persamaan lain, -3x+2y=-9.

$$-3\left(\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=-9$$

Darabkan -3 kali \frac{7y}{4}+\frac{5}{2}.

$$-\frac{21}{4}y-\frac{15}{2}+2y=-9$$

Tambahkan -\frac{21y}{4} pada 2y.

$$-\frac{13}{4}y-\frac{15}{2}=-9$$

Tambahkan \frac{15}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{13}{4}y=-\frac{3}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{13}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{6}{13}$$

Gantikan \frac{6}{13} dengan y dalam x=\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{4}\times \frac{6}{13}+\frac{5}{2}$$

Darabkan \frac{7}{4} dengan \frac{6}{13} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{21}{26}+\frac{5}{2}$$

Tambahkan \frac{5}{2} pada \frac{21}{26} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{43}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&-\frac{7}{13}\\-\frac{3}{13}&-\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\times 10-\frac{7}{13}\left(-9\right)\\-\frac{3}{13}\times 10-\frac{4}{13}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{43}{13}\\\frac{6}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-7y=10,-3x+2y=-9$$

Untuk menjadikan 4x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-3\times 4x-3\left(-7\right)y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 2y=4\left(-9\right)$$

Permudahkan.

$$-12x+21y=-30,-12x+8y=-36$$

Tolak -12x+8y=-36 daripada -12x+21y=-30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-12x+12x+21y-8y=-30+36$$

Tambahkan -12x pada 12x. Seubtan -12x dan 12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$21y-8y=-30+36$$

Tambahkan 21y pada -8y.

$$13y=-30+36$$

Tambahkan -30 pada 36.

$$13y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 13.

$$y=\frac{6}{13}$$

Gantikan \frac{6}{13} dengan y dalam -3x+2y=-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+2\times \frac{6}{13}=-9$$

Darabkan 2 kali \frac{6}{13}.

$$-3x+\frac{12}{13}=-9$$

Tolak \frac{12}{13} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-\frac{129}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=\frac{43}{13}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{43}{13},y=\frac{6}{13}$$