Selesaikan {l}{3x-2y=10}{x+y=5}

$$\left. \begin{array}{l}{ 3 x - 2 y = 10 }\\{ x + y = 5 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-2y=10,x+y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-2y=10$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=2y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 10+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}$$

Gantikan \frac{10+2y}{3} dengan x dalam persamaan lain, x+y=5.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}+y=5$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada y.

$$\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}=5$$

Tolak \frac{10}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{3}y=\frac{5}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2+10}{3}$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada \frac{2}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-2y=10,x+y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-2\right)}&\frac{3}{3-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10+\frac{2}{5}\times 5\\-\frac{1}{5}\times 10+\frac{3}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-2y=10,x+y=5$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x-2y=10,3x+3y=3\times 5$$

Permudahkan.

$$3x-2y=10,3x+3y=15$$

Tolak 3x+3y=15 daripada 3x-2y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-2y-3y=10-15$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-3y=10-15$$

Tambahkan -2y pada -3y.

$$-5y=10-15$$

Tambahkan 10 pada -15.

$$-5y=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x+y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+1=5$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=1$$