Selesaikan {l}{2x-y=4}{y=x+3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - y = 4 }\\{ y = x + 3 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=4$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Gantikan \frac{y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, -x+y=3.

$$-\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=3$$

Darabkan -1 kali \frac{y}{2}+2.

$$-\frac{1}{2}y-2+y=3$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada y.

$$\frac{1}{2}y-2=3$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}y=5$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+2$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 10.

$$x=5+2$$

Tambahkan 2 pada 5.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\\4+2\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Untuk menjadikan 2x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-4,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

Permudahkan.

$$-2x+y=-4,-2x+2y=6$$

Tolak -2x+2y=6 daripada -2x+y=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x+y-2y=-4-6$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-2y=-4-6$$

Tambahkan y pada -2y.

$$-y=-4-6$$

Tambahkan -4 pada -6.

$$-y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam -x+y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+10=3$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=10$$