Selesaikan {l}{2x-2y=-14}{y=4x-2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - 2 y = - 14 }\\{ y = 4 x - 2 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-2y=-14,-4x+y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-2y=-14$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=2y-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(2y-14\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -14+2y.

$$x=y-7$$

Gantikan y-7 dengan x dalam persamaan lain, -4x+y=-2.

$$-4\left(y-7\right)+y=-2$$

Darabkan -4 kali y-7.

$$-4y+28+y=-2$$

Tambahkan -4y pada y.

$$-3y+28=-2$$

Tolak 28 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam x=y-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=10-7$$

Tambahkan -7 pada 10.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=10$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-2y=-14,-4x+y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{2-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-14\right)-\frac{1}{3}\left(-2\right)\\-\frac{2}{3}\left(-14\right)-\frac{1}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\10\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=10$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-2y=-14,-4x+y=-2$$

Untuk menjadikan 2x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-4\times 2x-4\left(-2\right)y=-4\left(-14\right),2\left(-4\right)x+2y=2\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$-8x+8y=56,-8x+2y=-4$$

Tolak -8x+2y=-4 daripada -8x+8y=56 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-8x+8x+8y-2y=56+4$$

Tambahkan -8x pada 8x. Seubtan -8x dan 8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-2y=56+4$$

Tambahkan 8y pada -2y.

$$6y=56+4$$

Tambahkan 56 pada 4.

$$6y=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=10$$

Gantikan 10 dengan y dalam -4x+y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x+10=-2$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=10$$