Selesaikan {l}{2x+y=17}{y=6x+1}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x + y = 17 }\\{ y = 6 x + 1 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=13$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$y-6x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+y=17,-6x+y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+y=17$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-y+17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+17\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -y+17.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}$$

Gantikan \frac{-y+17}{2} dengan x dalam persamaan lain, -6x+y=1.

$$-6\left(-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}\right)+y=1$$

Darabkan -6 kali \frac{-y+17}{2}.

$$3y-51+y=1$$

Tambahkan 3y pada y.

$$4y-51=1$$

Tambahkan 51 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=52$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=13$$

Gantikan 13 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{17}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 13+\frac{17}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 13.

$$x=\frac{-13+17}{2}$$

Tambahkan \frac{17}{2} pada -\frac{13}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=13$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$y-6x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+y=17,-6x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-6\right)}&-\frac{1}{2-\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-\left(-6\right)}&\frac{2}{2-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 17-\frac{1}{8}\\\frac{3}{4}\times 17+\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\13\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=13$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 6x daripada kedua-dua belah.

$$y-6x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+y=17,-6x+y=1$$

Tolak -6x+y=1 daripada 2x+y=17 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x+6x+y-y=17-1$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2x+6x=17-1$$

Tambahkan 2x pada 6x.

$$8x=17-1$$

Tambahkan 17 pada -1.

$$8x=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam -6x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-6\times 2+y=1$$

Darabkan -6 kali 2.

$$-12+y=1$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=13$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=13$$