Selesaikan {l}{12x-4y=-4}{3x+8y=17}

$$\left. \begin{array}{l}{ 12 x - 4 y = - 4 }\\{ 3 x + 8 y = 17 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$12x-4y=-4$$

Tambahkan 4y pada kedua-dua belah persamaan.

$$12x=4y-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(4y-4\right)$$

Darabkan \frac{1}{12} kali -4+4y.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{-1+y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 3x+8y=17.

$$3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=17$$

Darabkan 3 kali \frac{-1+y}{3}.

$$y-1+8y=17$$

Tambahkan y pada 8y.

$$9y-1=17$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9y=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 2.

$$x=\frac{2-1}{3}$$

Tambahkan -\frac{1}{3} pada \frac{2}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&-4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}&\frac{12}{12\times 8-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{27}\\-\frac{1}{36}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\left(-4\right)+\frac{1}{27}\times 17\\-\frac{1}{36}\left(-4\right)+\frac{1}{9}\times 17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$12x-4y=-4,3x+8y=17$$

Untuk menjadikan 12x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 12.

$$3\times 12x+3\left(-4\right)y=3\left(-4\right),12\times 3x+12\times 8y=12\times 17$$

Permudahkan.

$$36x-12y=-12,36x+96y=204$$

Tolak 36x+96y=204 daripada 36x-12y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$36x-36x-12y-96y=-12-204$$

Tambahkan 36x pada -36x. Seubtan 36x dan -36x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-96y=-12-204$$

Tambahkan -12y pada -96y.

$$-108y=-12-204$$

Tambahkan -12 pada -204.

$$-108y=-216$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -108.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 3x+8y=17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+8\times 2=17$$

Darabkan 8 kali 2.

$$3x+16=17$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{3},y=2$$