Selesaikan {l}{-5x+y=-11}{4x-6y=14}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + y = - 11 }\\{ 4 x - 6 y = 14 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5x+y=-11$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-y-11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-11\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -y-11.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}$$

Gantikan \frac{11+y}{5} dengan x dalam persamaan lain, 4x-6y=14.

$$4\left(\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}\right)-6y=14$$

Darabkan 4 kali \frac{11+y}{5}.

$$\frac{4}{5}y+\frac{44}{5}-6y=14$$

Tambahkan \frac{4y}{5} pada -6y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{44}{5}=14$$

Tolak \frac{44}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{26}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{26}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{1}{5}y+\frac{11}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{11}{5}$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -1.

$$x=\frac{-1+11}{5}$$

Tambahkan \frac{11}{5} pada -\frac{1}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\4&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{1}{-5\left(-6\right)-4}\\-\frac{4}{-5\left(-6\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-6\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{2}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\left(-11\right)-\frac{1}{26}\times 14\\-\frac{2}{13}\left(-11\right)-\frac{5}{26}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5x+y=-11,4x-6y=14$$

Untuk menjadikan -5x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -5.

$$4\left(-5\right)x+4y=4\left(-11\right),-5\times 4x-5\left(-6\right)y=-5\times 14$$

Permudahkan.

$$-20x+4y=-44,-20x+30y=-70$$

Tolak -20x+30y=-70 daripada -20x+4y=-44 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-20x+20x+4y-30y=-44+70$$

Tambahkan -20x pada 20x. Seubtan -20x dan 20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-30y=-44+70$$

Tambahkan 4y pada -30y.

$$-26y=-44+70$$

Tambahkan -44 pada 70.

$$-26y=26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -26.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 4x-6y=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-6\left(-1\right)=14$$

Darabkan -6 kali -1.

$$4x+6=14$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-1$$