Selesaikan {l}{-5x+4y=3}{x=2y-15}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 5 x + 4 y = 3 }\\{ x = 2 y - 15 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=12$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=-15$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5x+4y=3$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-4y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-4y+3\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -4y+3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{4y-3}{5} dengan x dalam persamaan lain, x-2y=-15.

$$\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}-2y=-15$$

Tambahkan \frac{4y}{5} pada -2y.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}=-15$$

Tambahkan \frac{3}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{6}{5}y=-\frac{72}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{6}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=12$$

Gantikan 12 dengan y dalam x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{4}{5}\times 12-\frac{3}{5}$$

Darabkan \frac{4}{5} kali 12.

$$x=\frac{48-3}{5}$$

Tambahkan -\frac{3}{5} pada \frac{48}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=12$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=-15$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{-5\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{-5\left(-2\right)-4}&-\frac{5}{-5\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\left(-15\right)\\-\frac{1}{6}\times 3-\frac{5}{6}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\12\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=12$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=-15$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5x+4y=3,x-2y=-15$$

Untuk menjadikan -5x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -5.

$$-5x+4y=3,-5x-5\left(-2\right)y=-5\left(-15\right)$$

Permudahkan.

$$-5x+4y=3,-5x+10y=75$$

Tolak -5x+10y=75 daripada -5x+4y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-5x+5x+4y-10y=3-75$$

Tambahkan -5x pada 5x. Seubtan -5x dan 5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-10y=3-75$$

Tambahkan 4y pada -10y.

$$-6y=3-75$$

Tambahkan 3 pada -75.

$$-6y=-72$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=12$$

Gantikan 12 dengan y dalam x-2y=-15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2\times 12=-15$$

Darabkan -2 kali 12.

$$x-24=-15$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=12$$