Selesaikan {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan -1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3\left(y+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1.

$$3x+3=y+1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$3x+3-y=1$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$3x-y=1-3$$

Tolak 3 daripada 1 untuk mendapatkan -2.

$$3x-y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4\left(y-1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x-1.

$$4x-4=y-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$4x-4-y=-1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$4x-y=-1+4$$

Tambahkan -1 dan 4 untuk dapatkan 3.

$$4x-y=3$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-y=-2$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{-2+y}{3} dengan x dalam persamaan lain, 4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Darabkan 4 kali \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

Tambahkan \frac{4y}{3} pada -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=17$$

Gantikan 17 dengan y dalam x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

Tambahkan -\frac{2}{3} pada \frac{17}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=17$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan -1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3\left(y+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1.

$$3x+3=y+1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$3x+3-y=1$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$3x-y=1-3$$

Tolak 3 daripada 1 untuk mendapatkan -2.

$$3x-y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4\left(y-1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x-1.

$$4x-4=y-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$4x-4-y=-1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$4x-y=-1+4$$

Tambahkan -1 dan 4 untuk dapatkan 3.

$$4x-y=3$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=17$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan -1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3\left(y+1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 3 dengan x+1.

$$3x+3=y+1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$3x+3-y=1$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah.

$$3x-y=1-3$$

Tolak 3 daripada 1 untuk mendapatkan -2.

$$3x-y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Pemboleh ubah y tidak boleh sama dengan 1 kerana pembahagian dengan sifar tidak ditakrifkan. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 4\left(y-1\right), gandaan sepunya terkecil sebanyak y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan x-1.

$$4x-4=y-1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$4x-4-y=-1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah.

$$4x-y=-1+4$$

Tambahkan -1 dan 4 untuk dapatkan 3.

$$4x-y=3$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Tolak 4x-y=3 daripada 3x-y=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

Tambahkan -y pada y. Seubtan -y dan y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x-4x=-2-3$$

Tambahkan 3x pada -4x.

$$-x=-2-3$$

Tambahkan -2 pada -3.

$$-x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=5$$

Gantikan 5 dengan x dalam 4x-y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$4\times 5-y=3$$

Darabkan 4 kali 5.

$$20-y=3$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=17$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=17$$