Selesaikan {r}{x-7y=-11}{5x+2y=-18}

$$\left. \begin{array} { r } { x - 7 y = - 11 } \\ { 5 x + 2 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x-7y=-11$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=7y-11$$

Gantikan 7y-11 dengan x dalam persamaan lain, 5x+2y=-18.

$$5\left(7y-11\right)+2y=-18$$

Darabkan 5 kali 7y-11.

$$35y-55+2y=-18$$

Tambahkan 35y pada 2y.

$$37y-55=-18$$

Tambahkan 55 pada kedua-dua belah persamaan.

$$37y=37$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 37.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=7y-11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=7-11$$

Tambahkan -11 pada 7.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-7\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-7\times 5\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\times 5\right)}\\-\frac{5}{2-\left(-7\times 5\right)}&\frac{1}{2-\left(-7\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&\frac{7}{37}\\-\frac{5}{37}&\frac{1}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\left(-11\right)+\frac{7}{37}\left(-18\right)\\-\frac{5}{37}\left(-11\right)+\frac{1}{37}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x-7y=-11,5x+2y=-18$$

Untuk menjadikan x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$5x+5\left(-7\right)y=5\left(-11\right),5x+2y=-18$$

Permudahkan.

$$5x-35y=-55,5x+2y=-18$$

Tolak 5x+2y=-18 daripada 5x-35y=-55 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x-35y-2y=-55+18$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-35y-2y=-55+18$$

Tambahkan -35y pada -2y.

$$-37y=-55+18$$

Tambahkan -55 pada 18.

$$-37y=-37$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -37.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 5x+2y=-18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+2=-18$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=1$$