Selesaikan {r}{x+4y=25}{-4x+3y=52}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 4 y = 25 } \\ { - 4 x + 3 y = 52 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-7$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+4y=25$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-4y+25$$

Gantikan -4y+25 dengan x dalam persamaan lain, -4x+3y=52.

$$-4\left(-4y+25\right)+3y=52$$

Darabkan -4 kali -4y+25.

$$16y-100+3y=52$$

Tambahkan 16y pada 3y.

$$19y-100=52$$

Tambahkan 100 pada kedua-dua belah persamaan.

$$19y=152$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x=-4y+25. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4\times 8+25$$

Darabkan -4 kali 8.

$$x=-32+25$$

Tambahkan 25 pada -32.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4\left(-4\right)}&-\frac{4}{3-4\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-4\left(-4\right)}&\frac{1}{3-4\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{4}{19}\\\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\52\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 25-\frac{4}{19}\times 52\\\frac{4}{19}\times 25+\frac{1}{19}\times 52\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-7,y=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+4y=25,-4x+3y=52$$

Untuk menjadikan x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-4x-4\times 4y=-4\times 25,-4x+3y=52$$

Permudahkan.

$$-4x-16y=-100,-4x+3y=52$$

Tolak -4x+3y=52 daripada -4x-16y=-100 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x-16y-3y=-100-52$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-16y-3y=-100-52$$

Tambahkan -16y pada -3y.

$$-19y=-100-52$$

Tambahkan -100 pada -52.

$$-19y=-152$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -19.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam -4x+3y=52. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x+3\times 8=52$$

Darabkan 3 kali 8.

$$-4x+24=52$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-7,y=8$$