Selesaikan {r}{d+q=40}{10d+0.25q=5.80}

$$\left. \begin{array} { r } { d + q = 40 } \\ { 10 d + 0.25 q = 5.80 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk d, q

$$d=-\frac{28}{65}\approx -0.430769231$$

$$q = \frac{2628}{65} = 40\frac{28}{65} \approx 40.430769231$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk d dengan mengasingkan d di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$d+q=40$$

Tolak q daripada kedua-dua belah persamaan.

$$d=-q+40$$

Gantikan -q+40 dengan d dalam persamaan lain, 10d+0.25q=5.8.

$$10\left(-q+40\right)+0.25q=5.8$$

Darabkan 10 kali -q+40.

$$-10q+400+0.25q=5.8$$

Tambahkan -10q pada \frac{q}{4}.

$$-9.75q+400=5.8$$

Tolak 400 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9.75q=-394.2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -9.75 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$q=\frac{2628}{65}$$

Gantikan \frac{2628}{65} dengan q dalam d=-q+40. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk d.

$$d=-\frac{2628}{65}+40$$

Tambahkan 40 pada -\frac{2628}{65}.

$$d=-\frac{28}{65}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&0.25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.25}{0.25-10}&-\frac{1}{0.25-10}\\-\frac{10}{0.25-10}&\frac{1}{0.25-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}&\frac{4}{39}\\\frac{40}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}40\\5.8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{39}\times 40+\frac{4}{39}\times 5.8\\\frac{40}{39}\times 40-\frac{4}{39}\times 5.8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}d\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{65}\\\frac{2628}{65}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks d dan q.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$d+q=40,10d+0.25q=5.8$$

Untuk menjadikan d dan 10d sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$10d+10q=10\times 40,10d+0.25q=5.8$$

Permudahkan.

$$10d+10q=400,10d+0.25q=5.8$$

Tolak 10d+0.25q=5.8 daripada 10d+10q=400 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10d-10d+10q-0.25q=400-5.8$$

Tambahkan 10d pada -10d. Seubtan 10d dan -10d saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10q-0.25q=400-5.8$$

Tambahkan 10q pada -\frac{q}{4}.

$$9.75q=400-5.8$$

Tambahkan 400 pada -5.8.

$$9.75q=394.2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 9.75 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$q=\frac{2628}{65}$$

Gantikan \frac{2628}{65} dengan q dalam 10d+0.25q=5.8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk d.

$$10d+0.25\times \frac{2628}{65}=5.8$$

Darabkan 0.25 dengan \frac{2628}{65} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$10d+\frac{657}{65}=5.8$$

Tolak \frac{657}{65} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10d=-\frac{56}{13}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$d=-\frac{28}{65}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$d=-\frac{28}{65},q=\frac{2628}{65}$$