Selesaikan {r}{a+b=20}{6a+2b=20}

$$\left. \begin{array} { r } { a + b = 20 } \\ { 6 a + 2 b = 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=-5$$

$$b=25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$a+b=20$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a=-b+20$$

Gantikan -b+20 dengan a dalam persamaan lain, 6a+2b=20.

$$6\left(-b+20\right)+2b=20$$

Darabkan 6 kali -b+20.

$$-6b+120+2b=20$$

Tambahkan -6b pada 2b.

$$-4b+120=20$$

Tolak 120 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4b=-100$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$b=25$$

Gantikan 25 dengan b dalam a=-b+20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-25+20$$

Tambahkan 20 pada -25.

$$a=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-5,b=25$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-6}&-\frac{1}{2-6}\\-\frac{6}{2-6}&\frac{1}{2-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\\frac{3}{2}\times 20-\frac{1}{4}\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\25\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=-5,b=25$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$a+b=20,6a+2b=20$$

Untuk menjadikan a dan 6a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$6a+6b=6\times 20,6a+2b=20$$

Permudahkan.

$$6a+6b=120,6a+2b=20$$

Tolak 6a+2b=20 daripada 6a+6b=120 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6a-6a+6b-2b=120-20$$

Tambahkan 6a pada -6a. Seubtan 6a dan -6a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6b-2b=120-20$$

Tambahkan 6b pada -2b.

$$4b=120-20$$

Tambahkan 120 pada -20.

$$4b=100$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$b=25$$

Gantikan 25 dengan b dalam 6a+2b=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$6a+2\times 25=20$$

Darabkan 2 kali 25.

$$6a+50=20$$

Tolak 50 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6a=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$a=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=-5,b=25$$