Selesaikan {r}{8x+y=21}{24x-5y=23}

$$\left. \begin{array} { r } { 8 x + y = 21 } \\ { 24 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$8x+y=21$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=-y+21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=\frac{1}{8}\left(-y+21\right)$$

Darabkan \frac{1}{8} kali -y+21.

$$x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}$$

Gantikan \frac{-y+21}{8} dengan x dalam persamaan lain, 24x-5y=23.

$$24\left(-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}\right)-5y=23$$

Darabkan 24 kali \frac{-y+21}{8}.

$$-3y+63-5y=23$$

Tambahkan -3y pada -5y.

$$-8y+63=23$$

Tolak 63 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8y=-40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-\frac{1}{8}y+\frac{21}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{8}\times 5+\frac{21}{8}$$

Darabkan -\frac{1}{8} kali 5.

$$x=\frac{-5+21}{8}$$

Tambahkan \frac{21}{8} pada -\frac{5}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-24}&-\frac{1}{8\left(-5\right)-24}\\-\frac{24}{8\left(-5\right)-24}&\frac{8}{8\left(-5\right)-24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}&\frac{1}{64}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\23\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{64}\times 21+\frac{1}{64}\times 23\\\frac{3}{8}\times 21-\frac{1}{8}\times 23\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$8x+y=21,24x-5y=23$$

Untuk menjadikan 8x dan 24x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 24 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 8.

$$24\times 8x+24y=24\times 21,8\times 24x+8\left(-5\right)y=8\times 23$$

Permudahkan.

$$192x+24y=504,192x-40y=184$$

Tolak 192x-40y=184 daripada 192x+24y=504 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$192x-192x+24y+40y=504-184$$

Tambahkan 192x pada -192x. Seubtan 192x dan -192x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$24y+40y=504-184$$

Tambahkan 24y pada 40y.

$$64y=504-184$$

Tambahkan 504 pada -184.

$$64y=320$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 64.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam 24x-5y=23. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$24x-5\times 5=23$$

Darabkan -5 kali 5.

$$24x-25=23$$

Tambahkan 25 pada kedua-dua belah persamaan.

$$24x=48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=5$$