Selesaikan {r}{6x+8y=k}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 8 y = k } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+8y=k$$

Tolak 8y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-8y+k$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+k\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -8y+k.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}$$

Gantikan -\frac{4y}{3}+\frac{k}{6} dengan x dalam persamaan lain, x+y=1.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}+y=1$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{k}{6}=1$$

Tolak \frac{k}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{k}{6}+1$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Gantikan -3+\frac{k}{2} dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y+\frac{k}{6}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(\frac{k}{2}-3\right)+\frac{k}{6}$$

Darabkan -\frac{4}{3} kali -3+\frac{k}{2}.

$$x=-\frac{2k}{3}+4+\frac{k}{6}$$

Tambahkan \frac{k}{6} pada 4-\frac{2k}{3}.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-8}&-\frac{8}{6-8}\\-\frac{1}{6-8}&\frac{6}{6-8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}k+4\\\frac{1}{2}k-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{2}+4\\\frac{k}{2}-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+8y=k,x+y=1$$

Untuk menjadikan 6x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$6x+8y=k,6x+6y=6$$

Tolak 6x+6y=6 daripada 6x+8y=k dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+8y-6y=k-6$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-6y=k-6$$

Tambahkan 8y pada -6y.

$$2y=k-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{k}{2}-3$$

Gantikan \frac{k}{2}-3 dengan y dalam x+y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{k}{2}-3=1$$

Tolak -3+\frac{k}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{k}{2}+4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{k}{2}+4,y=\frac{k}{2}-3$$