Selesaikan {r}{6x+5y=23}{4x+y=13}

$$\left. \begin{array} { r } { 6 x + 5 y = 23 } \\ { 4 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+5y=23$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-5y+23$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+23\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -5y+23.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}$$

Gantikan \frac{-5y+23}{6} dengan x dalam persamaan lain, 4x+y=13.

$$4\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)+y=13$$

Darabkan 4 kali \frac{-5y+23}{6}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{46}{3}+y=13$$

Tambahkan -\frac{10y}{3} pada y.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{46}{3}=13$$

Tolak \frac{46}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{-5+23}{6}$$

Tambahkan \frac{23}{6} pada -\frac{5}{6} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 4}&-\frac{5}{6-5\times 4}\\-\frac{4}{6-5\times 4}&\frac{6}{6-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\times 23+\frac{5}{14}\times 13\\\frac{2}{7}\times 23-\frac{3}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+5y=23,4x+y=13$$

Untuk menjadikan 6x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$4\times 6x+4\times 5y=4\times 23,6\times 4x+6y=6\times 13$$

Permudahkan.

$$24x+20y=92,24x+6y=78$$

Tolak 24x+6y=78 daripada 24x+20y=92 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$24x-24x+20y-6y=92-78$$

Tambahkan 24x pada -24x. Seubtan 24x dan -24x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y-6y=92-78$$

Tambahkan 20y pada -6y.

$$14y=92-78$$

Tambahkan 92 pada -78.

$$14y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 4x+y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x+1=13$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$