Selesaikan {r}{5y+x=44}{y-x=4}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 y + x = 44 } \\ { y - x = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=4$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5y+x=44$$

Tolak x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-x+44$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-x+44\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -x+44.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}$$

Gantikan \frac{-x+44}{5} dengan y dalam persamaan lain, y-x=4.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}-x=4$$

Tambahkan -\frac{x}{5} pada -x.

$$-\frac{6}{5}x+\frac{44}{5}=4$$

Tolak \frac{44}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{6}{5}x=-\frac{24}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{6}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y=-\frac{1}{5}x+\frac{44}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{44}{5}$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali 4.

$$y=\frac{-4+44}{5}$$

Tambahkan \frac{44}{5} pada -\frac{4}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=8,x=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-1}&\frac{5}{5\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 44+\frac{1}{6}\times 4\\\frac{1}{6}\times 44-\frac{5}{6}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=8,x=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5y+x=44,y-x=4$$

Untuk menjadikan 5y dan y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$5y+x=44,5y+5\left(-1\right)x=5\times 4$$

Permudahkan.

$$5y+x=44,5y-5x=20$$

Tolak 5y-5x=20 daripada 5y+x=44 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5y-5y+x+5x=44-20$$

Tambahkan 5y pada -5y. Seubtan 5y dan -5y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x+5x=44-20$$

Tambahkan x pada 5x.

$$6x=44-20$$

Tambahkan 44 pada -20.

$$6x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y-x=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-4=4$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=8,x=4$$