Selesaikan {r}{5x+6y=18}{5x-10y=-50}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + 6 y = 18 } \\ { 5 x - 10 y = - 50 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} = 4.25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+6y=18,5x-10y=-50$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+6y=18$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-6y+18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+18\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -6y+18.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{18}{5}$$

Gantikan \frac{-6y+18}{5} dengan x dalam persamaan lain, 5x-10y=-50.

$$5\left(-\frac{6}{5}y+\frac{18}{5}\right)-10y=-50$$

Darabkan 5 kali \frac{-6y+18}{5}.

$$-6y+18-10y=-50$$

Tambahkan -6y pada -10y.

$$-16y+18=-50$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-16y=-68$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -16.

$$y=\frac{17}{4}$$

Gantikan \frac{17}{4} dengan y dalam x=-\frac{6}{5}y+\frac{18}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{6}{5}\times \frac{17}{4}+\frac{18}{5}$$

Darabkan -\frac{6}{5} dengan \frac{17}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{51}{10}+\frac{18}{5}$$

Tambahkan \frac{18}{5} pada -\frac{51}{10} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{2},y=\frac{17}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+6y=18,5x-10y=-50$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\5&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{5\left(-10\right)-6\times 5}&-\frac{6}{5\left(-10\right)-6\times 5}\\-\frac{5}{5\left(-10\right)-6\times 5}&\frac{5}{5\left(-10\right)-6\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{3}{40}\\\frac{1}{16}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\-50\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 18+\frac{3}{40}\left(-50\right)\\\frac{1}{16}\times 18-\frac{1}{16}\left(-50\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\\frac{17}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{3}{2},y=\frac{17}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+6y=18,5x-10y=-50$$

Tolak 5x-10y=-50 daripada 5x+6y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$5x-5x+6y+10y=18+50$$

Tambahkan 5x pada -5x. Seubtan 5x dan -5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6y+10y=18+50$$

Tambahkan 6y pada 10y.

$$16y=18+50$$

Tambahkan 18 pada 50.

$$16y=68$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$y=\frac{17}{4}$$

Gantikan \frac{17}{4} dengan y dalam 5x-10y=-50. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-10\times \frac{17}{4}=-50$$

Darabkan -10 kali \frac{17}{4}.

$$5x-\frac{85}{2}=-50$$

Tambahkan \frac{85}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-\frac{15}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{2},y=\frac{17}{4}$$