Selesaikan {r}{5x+2y=1}{-3x+3y=5}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 x + 2 y = 1 } \\ { - 3 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5x+2y=1,-3x+3y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5x+2y=1$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=-2y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali -2y+1.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Gantikan \frac{-2y+1}{5} dengan x dalam persamaan lain, -3x+3y=5.

$$-3\left(-\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+3y=5$$

Darabkan -3 kali \frac{-2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}+3y=5$$

Tambahkan \frac{6y}{5} pada 3y.

$$\frac{21}{5}y-\frac{3}{5}=5$$

Tambahkan \frac{3}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{21}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{4}{3} dengan y dalam x=-\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{1}{5}$$

Darabkan -\frac{2}{5} dengan \frac{4}{3} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{1}{5}$$

Tambahkan \frac{1}{5} pada -\frac{8}{15} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5x+2y=1,-3x+3y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\-3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{5\times 3-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 3-2\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 3-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{21}\\\frac{1}{7}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}-\frac{2}{21}\times 5\\\frac{1}{7}+\frac{5}{21}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{4}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5x+2y=1,-3x+3y=5$$

Untuk menjadikan 5x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-3\times 5x-3\times 2y=-3,5\left(-3\right)x+5\times 3y=5\times 5$$

Permudahkan.

$$-15x-6y=-3,-15x+15y=25$$

Tolak -15x+15y=25 daripada -15x-6y=-3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-15x+15x-6y-15y=-3-25$$

Tambahkan -15x pada 15x. Seubtan -15x dan 15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-15y=-3-25$$

Tambahkan -6y pada -15y.

$$-21y=-3-25$$

Tambahkan -3 pada -25.

$$-21y=-28$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -21.

$$y=\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{4}{3} dengan y dalam -3x+3y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+3\times \frac{4}{3}=5$$

Darabkan 3 kali \frac{4}{3}.

$$-3x+4=5$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{3},y=\frac{4}{3}$$