Selesaikan {r}{4x-2y+4=0}{-4x+3y-3=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - 2 y + 4 = 0 } \\ { - 4 x + 3 y - 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-2y+4=0$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x-2y=-4$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=2y-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-4\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -4+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Gantikan \frac{y}{2}-1 dengan x dalam persamaan lain, -4x+3y-3=0.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-1\right)+3y-3=0$$

Darabkan -4 kali \frac{y}{2}-1.

$$-2y+4+3y-3=0$$

Tambahkan -2y pada 3y.

$$y+4-3=0$$

Tambahkan 4 pada -3.

$$y+1=0$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)-1$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -1.

$$x=-\frac{1}{2}-1$$

Tambahkan -1 pada -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-4+3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-2y+4=0,-4x+3y-3=0$$

Untuk menjadikan 4x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y-4\times 4=0,4\left(-4\right)x+4\times 3y+4\left(-3\right)=0$$

Permudahkan.

$$-16x+8y-16=0,-16x+12y-12=0$$

Tolak -16x+12y-12=0 daripada -16x+8y-16=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-16x+16x+8y-12y-16+12=0$$

Tambahkan -16x pada 16x. Seubtan -16x dan 16x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y-12y-16+12=0$$

Tambahkan 8y pada -12y.

$$-4y-16+12=0$$

Tambahkan -16 pada 12.

$$-4y-4=0$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam -4x+3y-3=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x+3\left(-1\right)-3=0$$

Darabkan 3 kali -1.

$$-4x-3-3=0$$

Tambahkan -3 pada -3.

$$-4x-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{3}{2},y=-1$$