Selesaikan {r}{4x+3y=17}{3x-4y+6=0}

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x + 3 y = 17 } \\ { 3 x - 4 y + 6 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=17$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y+17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+17\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y+17.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}$$

Gantikan \frac{-3y+17}{4} dengan x dalam persamaan lain, 3x-4y+6=0.

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}\right)-4y+6=0$$

Darabkan 3 kali \frac{-3y+17}{4}.

$$-\frac{9}{4}y+\frac{51}{4}-4y+6=0$$

Tambahkan -\frac{9y}{4} pada -4y.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{51}{4}+6=0$$

Tambahkan \frac{51}{4} pada 6.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{75}{4}=0$$

Tolak \frac{75}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{25}{4}y=-\frac{75}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{25}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\times 3+\frac{17}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali 3.

$$x=\frac{-9+17}{4}$$

Tambahkan \frac{17}{4} pada -\frac{9}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&-\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 17+\frac{3}{25}\left(-6\right)\\\frac{3}{25}\times 17-\frac{4}{25}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=17,3x-4y+6=0$$

Untuk menjadikan 4x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$3\times 4x+3\times 3y=3\times 17,4\times 3x+4\left(-4\right)y+4\times 6=0$$

Permudahkan.

$$12x+9y=51,12x-16y+24=0$$

Tolak 12x-16y+24=0 daripada 12x+9y=51 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+9y+16y-24=51$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y+16y-24=51$$

Tambahkan 9y pada 16y.

$$25y-24=51$$

Tambahkan 24 pada kedua-dua belah persamaan.

$$25y=75$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 3x-4y+6=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-4\times 3+6=0$$

Darabkan -4 kali 3.

$$3x-12+6=0$$

Tambahkan -12 pada 6.

$$3x-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$