Selesaikan {r}{3x+7y=2}{x-y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 3 x + 7 y = 2 } \\ { x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{51}{10} = 5\frac{1}{10} = 5.1$$

$$y = -\frac{19}{10} = -1\frac{9}{10} = -1.9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+7y=2$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-7y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -7y+2.

$$x=-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{-7y+2}{3} dengan x dalam persamaan lain, x-y=7.

$$-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}-y=7$$

Tambahkan -\frac{7y}{3} pada -y.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{2}{3}=7$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{10}{3}y=\frac{19}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{10}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{19}{10}$$

Gantikan -\frac{19}{10} dengan y dalam x=-\frac{7}{3}y+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{3}\left(-\frac{19}{10}\right)+\frac{2}{3}$$

Darabkan -\frac{7}{3} dengan -\frac{19}{10} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{133}{30}+\frac{2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada \frac{133}{30} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{51}{10}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-7}&-\frac{7}{3\left(-1\right)-7}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-7}&\frac{3}{3\left(-1\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{7}{10}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 2+\frac{7}{10}\times 7\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{51}{10}\\-\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+7y=2,x-y=7$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+7y=2,3x+3\left(-1\right)y=3\times 7$$

Permudahkan.

$$3x+7y=2,3x-3y=21$$

Tolak 3x-3y=21 daripada 3x+7y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+7y+3y=2-21$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7y+3y=2-21$$

Tambahkan 7y pada 3y.

$$10y=2-21$$

Tambahkan 2 pada -21.

$$10y=-19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=-\frac{19}{10}$$

Gantikan -\frac{19}{10} dengan y dalam x-y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\left(-\frac{19}{10}\right)=7$$

Tolak \frac{19}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{51}{10}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{51}{10},y=-\frac{19}{10}$$