Selesaikan {r}{22x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$22x+3y=5$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$22x=-3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 22.

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{22} kali -3y+5.

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

Gantikan \frac{-3y+5}{22} dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

Darabkan 3 kali \frac{-3y+5}{22}.

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

Tambahkan -\frac{9y}{22} pada 2y.

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

Tolak \frac{15}{22} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{35}{22} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{305}{7}$$

Gantikan \frac{305}{7} dengan y dalam x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

Darabkan -\frac{3}{22} dengan \frac{305}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

Tambahkan \frac{5}{22} pada -\frac{915}{154} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

Untuk menjadikan 22x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 22.

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

Permudahkan.

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

Tolak 66x+44y=1540 daripada 66x+9y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

Tambahkan 66x pada -66x. Seubtan 66x dan -66x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-44y=15-1540$$

Tambahkan 9y pada -44y.

$$-35y=15-1540$$

Tambahkan 15 pada -1540.

$$-35y=-1525$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -35.

$$y=\frac{305}{7}$$

Gantikan \frac{305}{7} dengan y dalam 3x+2y=70. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

Darabkan 2 kali \frac{305}{7}.

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

Tolak \frac{610}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-\frac{120}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{40}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$