Selesaikan {r}{2x-3y=4}{x+y=8}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x - 3 y = 4 } \\ { x + y = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{28}{5} = 5\frac{3}{5} = 5.6$$

$$y = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-3y=4,x+y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-3y=4$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=3y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3y+4.

$$x=\frac{3}{2}y+2$$

Gantikan \frac{3y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, x+y=8.

$$\frac{3}{2}y+2+y=8$$

Tambahkan \frac{3y}{2} pada y.

$$\frac{5}{2}y+2=8$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{12}{5}$$

Gantikan \frac{12}{5} dengan y dalam x=\frac{3}{2}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{5}+2$$

Darabkan \frac{3}{2} dengan \frac{12}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{18}{5}+2$$

Tambahkan 2 pada \frac{18}{5}.

$$x=\frac{28}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{12}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-3y=4,x+y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 8\\-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{5}\\\frac{12}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{12}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-3y=4,x+y=8$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x-3y=4,2x+2y=2\times 8$$

Permudahkan.

$$2x-3y=4,2x+2y=16$$

Tolak 2x+2y=16 daripada 2x-3y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-3y-2y=4-16$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-2y=4-16$$

Tambahkan -3y pada -2y.

$$-5y=4-16$$

Tambahkan 4 pada -16.

$$-5y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=\frac{12}{5}$$

Gantikan \frac{12}{5} dengan y dalam x+y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+\frac{12}{5}=8$$

Tolak \frac{12}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{28}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{28}{5},y=\frac{12}{5}$$