Selesaikan {r}{2x+4y=56}{x+y=20}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 4 y = 56 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=56$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+56$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+56\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+56.

$$x=-2y+28$$

Gantikan -2y+28 dengan x dalam persamaan lain, x+y=20.

$$-2y+28+y=20$$

Tambahkan -2y pada y.

$$-y+28=20$$

Tolak 28 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x=-2y+28. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times 8+28$$

Darabkan -2 kali 8.

$$x=-16+28$$

Tambahkan 28 pada -16.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-4}&-\frac{4}{2-4}\\-\frac{1}{2-4}&\frac{2}{2-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&2\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 56+2\times 20\\\frac{1}{2}\times 56-20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=12,y=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=56,x+y=20$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+4y=56,2x+2y=2\times 20$$

Permudahkan.

$$2x+4y=56,2x+2y=40$$

Tolak 2x+2y=40 daripada 2x+4y=56 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+4y-2y=56-40$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-2y=56-40$$

Tambahkan 4y pada -2y.

$$2y=56-40$$

Tambahkan 56 pada -40.

$$2y=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x+y=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+8=20$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=8$$