Selesaikan {r}{2x+3y=10}{-3x+y=18}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { - 3 x + y = 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=10$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+5 dengan x dalam persamaan lain, -3x+y=18.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+y=18$$

Darabkan -3 kali -\frac{3y}{2}+5.

$$\frac{9}{2}y-15+y=18$$

Tambahkan \frac{9y}{2} pada y.

$$\frac{11}{2}y-15=18$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{2}y=33$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{2}\times 6+5$$

Darabkan -\frac{3}{2} kali 6.

$$x=-9+5$$

Tambahkan 5 pada -9.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{3}{11}\times 18\\\frac{3}{11}\times 10+\frac{2}{11}\times 18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=10,-3x+y=18$$

Untuk menjadikan 2x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 10,2\left(-3\right)x+2y=2\times 18$$

Permudahkan.

$$-6x-9y=-30,-6x+2y=36$$

Tolak -6x+2y=36 daripada -6x-9y=-30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-6x+6x-9y-2y=-30-36$$

Tambahkan -6x pada 6x. Seubtan -6x dan 6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y-2y=-30-36$$

Tambahkan -9y pada -2y.

$$-11y=-30-36$$

Tambahkan -30 pada -36.

$$-11y=-66$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam -3x+y=18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+6=18$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=6$$