Selesaikan {r}{12x+3y=5}{3x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { r } { 12 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{11}{15}\approx -0.733333333$$

$$y = \frac{23}{5} = 4\frac{3}{5} = 4.6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$12x+3y=5$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$12x=-3y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-3y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{12} kali -3y+5.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}$$

Gantikan -\frac{y}{4}+\frac{5}{12} dengan x dalam persamaan lain, 3x+2y=7.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}\right)+2y=7$$

Darabkan 3 kali -\frac{y}{4}+\frac{5}{12}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

Tolak \frac{5}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{4}y=\frac{23}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{23}{5}$$

Gantikan \frac{23}{5} dengan y dalam x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{12}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{23}{5}+\frac{5}{12}$$

Darabkan -\frac{1}{4} dengan \frac{23}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{23}{20}+\frac{5}{12}$$

Tambahkan \frac{5}{12} pada -\frac{23}{20} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{12\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{12\times 2-3\times 3}&\frac{12}{12\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}&-\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{15}\times 5-\frac{1}{5}\times 7\\-\frac{1}{5}\times 5+\frac{4}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{15}\\\frac{23}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$12x+3y=5,3x+2y=7$$

Untuk menjadikan 12x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 12.

$$3\times 12x+3\times 3y=3\times 5,12\times 3x+12\times 2y=12\times 7$$

Permudahkan.

$$36x+9y=15,36x+24y=84$$

Tolak 36x+24y=84 daripada 36x+9y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$36x-36x+9y-24y=15-84$$

Tambahkan 36x pada -36x. Seubtan 36x dan -36x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-24y=15-84$$

Tambahkan 9y pada -24y.

$$-15y=15-84$$

Tambahkan 15 pada -84.

$$-15y=-69$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=\frac{23}{5}$$

Gantikan \frac{23}{5} dengan y dalam 3x+2y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+2\times \frac{23}{5}=7$$

Darabkan 2 kali \frac{23}{5}.

$$3x+\frac{46}{5}=7$$

Tolak \frac{46}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-\frac{11}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-\frac{11}{15}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{11}{15},y=\frac{23}{5}$$