Selesaikan {r}{10x-10y=-10}{+-10x+8y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { 10 x - 10 y = - 10 } \\ { + - 10 x + 8 y = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10x-10y=-10$$

Tambahkan 10y pada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=10y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(10y-10\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -10+10y.

$$x=y-1$$

Gantikan y-1 dengan x dalam persamaan lain, -10x+8y=12.

$$-10\left(y-1\right)+8y=12$$

Darabkan -10 kali y-1.

$$-10y+10+8y=12$$

Tambahkan -10y pada 8y.

$$-2y+10=12$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-1-1$$

Tambahkan -1 pada -1.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-10\\-10&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}&\frac{10}{10\times 8-\left(-10\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\\-\frac{1}{2}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10x-10y=-10,-10x+8y=12$$

Untuk menjadikan 10x dan -10x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 10.

$$-10\times 10x-10\left(-10\right)y=-10\left(-10\right),10\left(-10\right)x+10\times 8y=10\times 12$$

Permudahkan.

$$-100x+100y=100,-100x+80y=120$$

Tolak -100x+80y=120 daripada -100x+100y=100 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-100x+100x+100y-80y=100-120$$

Tambahkan -100x pada 100x. Seubtan -100x dan 100x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$100y-80y=100-120$$

Tambahkan 100y pada -80y.

$$20y=100-120$$

Tambahkan 100 pada -120.

$$20y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 20.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam -10x+8y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-10x+8\left(-1\right)=12$$

Darabkan 8 kali -1.

$$-10x-8=12$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-10x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-1$$