Selesaikan {r}{-x+3y=4}{-7x+12y=12}

$$\left. \begin{array} { r } { - x + 3 y = 4 } \\ { - 7 x + 12 y = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9} \approx 1.777777778$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+3y=4$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-3y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-3y+4\right)$$

Darabkan -1 kali -3y+4.

$$x=3y-4$$

Gantikan 3y-4 dengan x dalam persamaan lain, -7x+12y=12.

$$-7\left(3y-4\right)+12y=12$$

Darabkan -7 kali 3y-4.

$$-21y+28+12y=12$$

Tambahkan -21y pada 12y.

$$-9y+28=12$$

Tolak 28 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9y=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=\frac{16}{9}$$

Gantikan \frac{16}{9} dengan y dalam x=3y-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\times \frac{16}{9}-4$$

Darabkan 3 kali \frac{16}{9}.

$$x=\frac{16}{3}-4$$

Tambahkan -4 pada \frac{16}{3}.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-7&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{-12-3\left(-7\right)}&-\frac{3}{-12-3\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-12-3\left(-7\right)}&-\frac{1}{-12-3\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{7}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\times 4-\frac{1}{3}\times 12\\\frac{7}{9}\times 4-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{16}{9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+3y=4,-7x+12y=12$$

Untuk menjadikan -x dan -7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$-7\left(-1\right)x-7\times 3y=-7\times 4,-\left(-7\right)x-12y=-12$$

Permudahkan.

$$7x-21y=-28,7x-12y=-12$$

Tolak 7x-12y=-12 daripada 7x-21y=-28 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$7x-7x-21y+12y=-28+12$$

Tambahkan 7x pada -7x. Seubtan 7x dan -7x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-21y+12y=-28+12$$

Tambahkan -21y pada 12y.

$$-9y=-28+12$$

Tambahkan -28 pada 12.

$$-9y=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=\frac{16}{9}$$

Gantikan \frac{16}{9} dengan y dalam -7x+12y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-7x+12\times \frac{16}{9}=12$$

Darabkan 12 kali \frac{16}{9}.

$$-7x+\frac{64}{3}=12$$

Tolak \frac{64}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=-\frac{28}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=\frac{4}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{16}{9}$$