Selesaikan {r}{-7x+2y=-39}{9x-5y=55}

$$\left. \begin{array} { r } { - 7 x + 2 y = - 39 } \\ { 9 x - 5 y = 55 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-7x+2y=-39$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=-2y-39$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-39\right)$$

Darabkan -\frac{1}{7} kali -2y-39.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}$$

Gantikan \frac{2y+39}{7} dengan x dalam persamaan lain, 9x-5y=55.

$$9\left(\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}\right)-5y=55$$

Darabkan 9 kali \frac{2y+39}{7}.

$$\frac{18}{7}y+\frac{351}{7}-5y=55$$

Tambahkan \frac{18y}{7} pada -5y.

$$-\frac{17}{7}y+\frac{351}{7}=55$$

Tolak \frac{351}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{17}{7}y=\frac{34}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{17}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{39}{7}$$

Darabkan \frac{2}{7} kali -2.

$$x=\frac{-4+39}{7}$$

Tambahkan \frac{39}{7} pada -\frac{4}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{2}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{7}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}&-\frac{2}{17}\\-\frac{9}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}\left(-39\right)-\frac{2}{17}\times 55\\-\frac{9}{17}\left(-39\right)-\frac{7}{17}\times 55\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

Untuk menjadikan -7x dan 9x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 9 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -7.

$$9\left(-7\right)x+9\times 2y=9\left(-39\right),-7\times 9x-7\left(-5\right)y=-7\times 55$$

Permudahkan.

$$-63x+18y=-351,-63x+35y=-385$$

Tolak -63x+35y=-385 daripada -63x+18y=-351 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-63x+63x+18y-35y=-351+385$$

Tambahkan -63x pada 63x. Seubtan -63x dan 63x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$18y-35y=-351+385$$

Tambahkan 18y pada -35y.

$$-17y=-351+385$$

Tambahkan -351 pada 385.

$$-17y=34$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -17.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 9x-5y=55. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$9x-5\left(-2\right)=55$$

Darabkan -5 kali -2.

$$9x+10=55$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$9x=45$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=-2$$