Selesaikan {r}{-6x+21y=-24}{+quad6x-4y=24}

$$\left. \begin{array} { r } { - 6 x + 21 y = - 24 } \\ { + \quad 6 x - 4 y = 24 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-6x+21y=-24$$

Tolak 21y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=-21y-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-21y-24\right)$$

Darabkan -\frac{1}{6} kali -21y-24.

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

Gantikan \frac{7y}{2}+4 dengan x dalam persamaan lain, 6x-4y=24.

$$6\left(\frac{7}{2}y+4\right)-4y=24$$

Darabkan 6 kali \frac{7y}{2}+4.

$$21y+24-4y=24$$

Tambahkan 21y pada -4y.

$$17y+24=24$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$17y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{7}{2}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&21\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{21}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\\-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}&-\frac{6}{-6\left(-4\right)-21\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}&\frac{7}{34}\\\frac{1}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{51}\left(-24\right)+\frac{7}{34}\times 24\\\frac{1}{17}\left(-24\right)+\frac{1}{17}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-6x+21y=-24,6x-4y=24$$

Untuk menjadikan -6x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -6.

$$6\left(-6\right)x+6\times 21y=6\left(-24\right),-6\times 6x-6\left(-4\right)y=-6\times 24$$

Permudahkan.

$$-36x+126y=-144,-36x+24y=-144$$

Tolak -36x+24y=-144 daripada -36x+126y=-144 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-36x+36x+126y-24y=-144+144$$

Tambahkan -36x pada 36x. Seubtan -36x dan 36x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$126y-24y=-144+144$$

Tambahkan 126y pada -24y.

$$102y=-144+144$$

Tambahkan -144 pada 144.

$$102y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 102.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 6x-4y=24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=0$$